1. KRİTİK YOL YÖNTEMİ (CPM)

Herhangi bir problemi programlarken karşılıklı ilişkili faaliyetler organize edilmelidir. Programlamayı kısıtlayan sadece faaliyetler arasındaki sırasal ilişkiler ile faaliyetlerin sürdürülebilmesini sağlayan kaynaklarıdır. Faaliyetin başlayabilmesi için bir önceki faaliyetin bitmiş olması gerekir ki bu da bazı faaliyetler arasında öncelikli tamamlama ilişkisi olduğunu gösterir. Bir çok projelerde ele alınacak faaliyetlerin sayısı çok olduğu gibi faaliyetlerin sıralı ilişkileri de karmaşıktır. Bu durumda yapılacak işlemi şekillendirmeden açık bir görünümünü ortaya koymak olanaksızdır. CPM tekniği programların yapımı, araştırma faaliyetlerinin planlanması ile eşgüdümü gerektiren bir plan için değeri biçilmez yardımlar sağlar.

CPM tekniği 1950’li yılların sonlarında du Pont ve Sperry Rand şirketlerindeki araştırmacılar tarafında geliştirilmiştir.

CPM çok yararlı bir planlama tekniğidir ve ayrıca GANTT tablolarındaki aşağıdaki nedenler dolayısıyla daha üstündür:

  1. Projelerin planlanması, projede gerekli olan faaliyetlerin birbirine olan ilişkilerini göstermek bakımından zorunludur. Diğer planlama tekniklerinde bu durum görülmez.

  2. Şemanın çizilmesi olanaklı faaliyetlerin unutulmamasını sağlar.

  3. Kritik faaliyetler ortaya çıktığında bu faaliyetlerde gecikme olmayacağını gösterir ve gerektiğinde bu faaliyetlerde fazla işgücü kullanılarak projeyi tamamlama zamanının kısılabileceğini gösterir.

  4. Ayrıca acele olmayan faaliyetlere zamanından önce finansman ve işgücü bağlanmamasını sağlar.

CPM de faaliyetler zamanlarının sabit olduğu kabul edildiğinde deterministik bir yöntemdir. Projelerle ilgili aşağıdaki şu soruları CPM yönteminin yanıtlayabileceği ortadadır.

 

  1. Projenin tamamlanmasın sağlayan en kısa zaman nedir?

  2. Her bir faaliyetin başlayabileceği en erken zaman nedir?

  3. Eğer proje en kısa zamanda tamamlanacaksa her faaliyet en geç ne zamanda bitirilecektir?

  4. Projenin tamamlanmasında şemada hangi faaliyetler kritiktir (dönüşül)? Kritik faaliyetler tamamen bitirilmelidir yoksa proje geç kalır.

  5. Projeyi geciktirmeden kritik olmayan faaliyetlere sağlanacak en çok gecikme nedir?

CPM yönteminin kullanıldığı bazı alanlar şöyle sıralanabilir:

 

    1. Ok Diyagramı

      2. Kritik yol yönteminin temeli şebekedir. Şebekenin dalları ortaya konulacak faaliyetleri gösterir. Dalların yönü her zaman başlangıçtan bitişe doğru olduğunda oklar ile ( → ) gösterilir. Noktalar veya daireler hem olayları gösterir hem de faaliyetlerin tamamlanmasını ya da başlamasını belirtirler.

      Örneğin aşağıdaki şekilde D faaliyeti başlamadan önce E faaliyeti bitirilmiş olmalıdır.

      E D

      Kukla (dummy) faaliyetler CPM tekniğinde oldukça sık bir biçimde görülmektedir. Herhangi bir faaliyetin veya olayın belirli olarak açıklanması için bazen kukla faaliyetler yaratılır. Kukla faaliyetler faaliyet zamanı gerektirmeyen faaliyetlerin sıralarını gösterir. Örneğin K ve L gibi iki faaliyet ele alalım ve bu iki faaliyetten hemen önce ve hemen sonra gelen faaliyetler aynı olsun bu durumdaki mantıki olarak aşağıdaki şekilde çizebiliriz.

      K

      1 2 L 3

      Fakat yukarıdaki şekil daha önce belirttiğimiz CPM kurallarına uymaz. Çünkü her faaliyet iki olay dairesi ile özel olarak bağlanmalıdır. Yani aynı iki olay dairesi ayrı ayrı iki faaliyeti bağlayamaz. Bu sorunu çözmek için aşağıdaki şekli çizebiliriz.

      1 2 K 4

      L (Kukla)

      3

       

    2. Kritik Yolun Bulunması

Şebekede kritik yolu bulmak için en kısa yol problemlerindeki işlemlere benzer işlemler kullanılabilir.

Programın başlangıcından sonuna kadar giden ayrı yollar bulunabilir. Bu yollar içinde en uzun olanına kritik yol denir ki, bu yolun üzerinde olacak herhangi bir gecikme bütün projenin tamamlanmasını geciktirir. Kritik yol işlemi ile projenin başlangıcında en uzun yol bulunur, ki bu biz her faaliyet ile başlanabilecek en erken zamanın bulunmasında yardımcı olur. Bitime gelindiğinde proje için en kısa zaman bulunur. Sonra projenin bitim yerinden geriye doğru gidilerek her olay için en uzun yol bulunur ve faaliyet zamanları buradaki geçen toplam sürelerden çıkarılarak geliştirilen yol için en geç bitim zamanı bulunur. Şimdi bu anlattıklarımızı bir örnekle açıklayalım.

Örnek 1: Yeni bir ürün üretmeyi amaçlayan bir şirket aşağıdaki tablodaki bilgilere dayanarak yeni ürünü için proje programlaması yapmak istemektedir.

Tablo 1: Faaliyet Serisi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

İstenen;

  1. Projenin şebeke diyagramının çizimi

  2. Farklı faaliyetler arasındaki zaman ilişkisinin belirlenmesi

  3. Projenin bitirilmesini geciktirmeyecek her faaliyetin en geç başlama zamanının bulunması

  4. Her faaliyetin boşluk değerinin ve kritik yolun bulunması

 

 

ÇÖZÜM

Öncelikle projedeki faaliyetlerin şebeke diyagramını çizelim.

3 E 1 5

D

2 0 F 2

B 3 4

G 3

A C H

1 2 6 7

1 7 7

 

Bu diyagramda da görüldüğü gibi B faaliyetinden sonra ve F faaliyetinden önce olan E ve D faaliyetlerini CPM tekniğine uygun bir hale getirmek için arada bir kukla faaliyet kullanılmıştır. Şimdi yine diyagram üzerinden giderek en erken başlama ve en erken bitiş sürelerini bulalım. En erken başlama zamanı bir faaliyetten önceki faaliyetlerin en uzun erken bitirilme süresine sahip olan faaliyetin en erken başlama zamanıdır. En erken bitiş zamanı ise bu zaman faaliyetin süresini eklemek yoluyla bulabiliriz.

3 E (4,5) 1 5

(4,6)

D 2 0 F (6,8)

(1,4) 4 2

B 3 G (6,9) 3

1 A(0,1) 2 C(1,8) 6 H(9,16) 7

1 7 7

Bu süreler bulunduktan sonra sıra en geç başlama ve en geç bitirme zamanlarının bulunmasına gelir. En geç başlama zamanı proje bitirme zamanından geriye doğru gelinerek bulunur. En geç bitirme zamanlarından faaliyetin süresi çıkarılarak bulunur. En geç bitirme zamanı ise geriye doğru gelirken bir faaliyetten sonra yapılan faaliyetlerin en geç tamamlanma zamanlarından en küçüğüdür. Şimdi şekil üzerinde bu zamanları belirleyelim.

 

3 E (4,5) 5

(6,7) 1 F 2

(1,4) D 2 (6,8)

(1,4) (4,6) 0 (6,9) (7,9)

B 3 (4,6) 4 G 3 (6,9)

1 A(0,1) 2 C (1,8) 6 H(9,16) 7

1 (0,1) 7 (2,9) 7 (9,16)

Bu değerler bulunduktan sonra sıra kritik yolun belirlenmesi ve varsa aylak zamanların ortaya çıkarılmasına geldi. Aylak zaman değerleri 0 olan faaliyetler kritik yol üzerinde bulunuyor demektir. Aşağıdaki tablo da bu değerlerin tümünü görebiliriz.

Tablo 2: Faaliyet süreleri

 

 

 

 

 

 

 

Buradaki tablodan da görüleceği gibi bu işlem için kritik yol 1-2-3-4-6-7 yoludur. Bu işlemin kritik faaliyetleri ise A,B,D,G ve H faaliyetleridir. Yani bu faaliyetlerde oluşabilecek herhangi bir gecikme projenin bitiş süresini etkileyecektir.

Bazı durumlarda ise kritik yol bulunduktan sonra bu yol üzerindeki faaliyetler belirli bir miktar maliyete katlanılmak suretiyle daha kısa sürede tamamlanabilir. Bu durumda proje tamamlanma süresi de kısalmış olacaktır. Böyle bir işlemin bize getirisinin mutlaka maliyetinden daha fazla olması gerekir. Yoksa gereksiz yere sadece süreyi kısaltmak işletmeye ek maliyetten başka bir şey getirmeyecektir. Kritik yol üzerindeki faaliyetlerin sürelerinin kısaltılması işlemine sıkıştırma ve bu işlem sonunda işletmeye gelenek maliyete de sıkıştırma maliyeti adı verilir.

Aşağıdaki örnekte bir sıkıştırma sorusu yer almaktadır.

Örnek 2: Bir işletme yeni bir ürünü piyasaya sürmek için bütçe hazırlıkları yapma sürecindedir. Aşağıdaki tablo bu süreçteki faaliyetleri, öncü faaliyetleri ve sürelerini göstermektedir.

Tablo 3: Faaliyetler

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şimdi verilen bu değerlerden yola çıkarak şemamızı oluşturalım.

 

 

3

B E 6

3

1 A 2 5 F 6

2 5

C 4 D 7

4

 

 

Verilen faaliyet sürelerinden yola çıkarak şimdi tablomuzu oluşturalım ve hem kritik yolu hem de varsa aylak zamanları bulalım.

Tablo 4 Faaliyet süreleri

Faaliyet Günler Kritik Faaliyet

Süre EB ET GB GT Aylak

A 2 0 2 0 2 - *

B 3 2 5 4 7 2

C 4 2 6 2 6 - *

D 7 6 13 6 13 - *

E 6 5 11 7 13 2

F 5 13 18 13 18 - *

 

 

 

 

Yaptığımız hesaplamalardan da görüldüğü gibi proje için kritik yol 1-2-4-5-6 yoludur.

Aşağıdaki tabloda faaliyetler ve bu faaliyetlerin daha kısa zamanda yapıldığı takdirde bize getireceği maliyetler verilecektir. Bu maliyetlerden yola çıkarak kritik yol üzerindeki faaliyetlerin süreleri kısaltılacaktır. Burada dikkat edilmesi gereken husus her yapılan sıkıştırma işleminden sonra tekrar kritik yolların hesaplanmasıdır. Bunun en önemli nedeni her sıkıştırmadan sonra ortaya yeni kritik yollatın çıkabileceği ve yeni sıkıştırmaların bu yollar üzerinde de yapılabilecek olmasıdır.

Tablo 5 Sıkıştırma süreleri ve maliyetleri

 

 

 

 

 

 

 

 

Sıkıştırma işlemine başlarken öncelikle tüm faaliyetlerin birim sıkıştırma maliyetleri bulunur. Bunun için hızlandırılmış maliyetten normal maliyet çıkartılır ve normal süre ile sıkıştırılmış sürenin farkına bölünür. Yani burada A faaliyeti için birim maliyet 40, B için 50, C için 50, D için 200 ve F için 200 şeklindedir. Doğal olarak sıkıştırma işlemine öncelikle kritik yol üzerindeki faaliyetlerden başlanır. İşletmeler için her zaman en önemli unsur olan maliyet yine burada göz önüne alınacaktır ve birim maliyeti en düşük olan kritik faaliyetten sıkıştırma işlemine başlanır. Bu durumda ilk önce A faaliyetinden sıkıştırma işlemine başlayacağız.

 

 

 

A faaliyetinin süresini 1 gün azalttığımız taktirde kritik yolumuz değişmeyecektir fakat kritik yolun süresi 1 gün azalacak ve 17 güne düşecektir.

Yaptığımız bu işlemden sonra kritik yol üzerinde ikinci en düşük sıkıştırma maliyetli faaliyet ise C faaliyetidir. Öncelikle bu faaliyeti 1 gün sıkıştıralım. Bu şekilde tekrar baktığımızda yine kritik yolun değişmediğini fakat sürenin bu sefer 16 güne düştüğünü görürüz. C faaliyetinin hala 1 gün daha sıkıştırılma durumu vardır. Bu sıkıştırmayı yaptığımızda ise kritik yolumuz artık bir değil iki tane olacaktır. Bu durumda 1-2-4-5-6 ve 1-2-3-5-6 yollarının ikisi de kritik yol haline gelir. Bunu

3

3 6

1 5

1 2 5 6

2 7

4

Artık iki tane kritik yolumuz var ve süremiz de 15 güne düşmüş durumda. Bundan sonraki adımda kritik yol üzerinde olan ve en düşük sıkıştırma maliyetli faaliyet B faaliyeti. Fakat bu faaliyeti kısaltsak bile diğer yolun değeri düşmeyeceği için bu faaliyeti tek başına sıkıştırmak yerine D faaliyeti ile birlikte kısaltabiliriz. Fakat bu işlemin maliyeti tek başına F faaliyetini sıkıştırmaktan daha fazla olacağı için önce F faaliyetini sıkıştırırız. Böylece kritik yol 14 güne düşecektir. Artık son olarak D ve B faaliyetlerini bir arada sıkıştırabiliriz. Bu sıkıştırma sonunda ise kritik yol 13 güne düşecektir. Bu durumu aşağıdaki şekilde görebiliriz. Bu son durumda da hala E faaliyetini 1 gün daha sıkıştırma imkanı vardır fakat bunu yapmak bize gün kazandırmayacaktır çünkü diğer kritik yolumuzun zamanını değiştirmeyecektir ve sadece maliyet olarak geri dönecektir.

 

 

3

2 6

1 1 2 5 4 6

2 6

4

 

Şimdi bu sıkıştırma işlemlerinin bize toplam maliyetinin ne olduğunu hesaplayalım. İlk maliyetimiz 3150 idi daha sonraki her sıkıştırma maliyetini buna ekleyelim.

3150+40+100+200+50+200=3740 olacaktır. Yani bu projeyi 5 gün daha erken tamamlayabilmek için işletme 590 birimlik bir ek maliyete katlanmak zorundadır.

 

  1. PERT

PERT, “Proje Değerlendirme ve Gözden Geçirme Tekniği” olarak da bilinen bir analiz tekniğidir. 1958 yılında ilk kez A.B.D donanmasının özel proje bürosu Polaris Projesine uygulanarak proje bitirilmesine iki yıl kazandırmıştır. Türkiye ‘de bu teknik Keban Barajı ve Boğaz Köprüsü projelerinde kullanılmıştır.

PERT üretimdeki gecikmeleri, takılmaları ve türlü çatışmaları en düşük düzeye indiren işin bütününün parçalarını eşgüden ve eşzamanlayan, projelerin tamamlanmasını hızlandıran bir yöntemdir.

CPM yönteminde faaliyetlerin süreleri kesin olarak bilinmektedir. Fakat uygulamada faaliyetlerin sürelerini kesin olarak bilmek imkansızdır. Eğer faaliyetlerin süreleri kesin olarak bilinmezse o zaman ortaya olasılıklı zamanlar çıkar. İşte bu durumda PERT analizi kullanılır. İlk PERT analizi geliştirilirken kesin bilinmeyen faaliyet süreleri bir olasılık dağılımı olarak kabul edilmiştir. Böylece elde edilen kritik yola da olasılıklı kritik yol adı verilmiştir. Uygulamada kişiye veya kuruluşa özel faaliyetlerin tamamlanma sürelerinin olasılık dağılımını sormak gerçekçi olmaz bu sebeple her faaliyet için üç ayrı süre belirlenmiştir. Bu süreler:

  1. En iyimser süre: Her şey istenildiği gibi gittiğine göre faaliyetin en çabuk tamamlanacağı süredir. Simgesi (a) dır.

  2. En kötümser süre: En kötü durumda faaliyetin bitirilme süresidir. Bu sürenin simgesi (b) dir.

  3. En yüksek olasılıklı süre (olabilir faaliyet süresi). Geçmiş tecrübelere dayanarak faaliyetin ortalama ne kadar sürede bitirilebileceğini gösteren süredir. Simgesi (m) dir.

PERT analizine göre bu üç tahmini ortalama x alınır. x beta dağılımının ortalamasıdır. Ortalama, şebekede bir faaliyetin gerçekleşmesi için öngörülmüş süredir. Buna beklenen zaman da denir. Her faaliyetin beklenen süresi ve varyansı aşağıdaki şekilde bulunur.

Ortalama = x = a+4m+b

6

Varyans = s2 = (b-a / 6)2 şeklindedir.

Eğer varyans değeri büyükse belirsizlik derecesi o kadar büyük olur. Yani faaliyetin o sürede tamamlanması belirsizlik gösterir.

PERT analizi her faaliyetin beklenen ortalama zamanını belirleyerek projedeki kritik yolu hesaplayabilir. Projenin başlangıcından bitimine kadar bir çok yol olabilir. Bu yollar içinde en yüksek beklenen ortalama zamanı ve varyansı veren yol kritik yoldur. Yani projenin beklenen süresi ve varyansı aşağıdaki şekilde hesaplanır.

µ= Σ x ve Varyans = σ2 = Σ s2 dir.

Kritik yol üzerinde büyük değerli faaliyet zamanlı faaliyetler veya olaylar normal dağılıma daha yaklaşıktır. En son olay için bulunacak toplam beklenen zaman projenin tamamlanması için gereken toplam beklenen ortalama zamanı gösterir. Projenin teslim zamanı PERT analizinden bağımsız olarak bulunabilir. Projenin teslim zamanı ile projenin toplam ortalama bekleme zamanı farklı olabilir. İşte bu durumlarda programı aksatan etkenler belirlenebileceği gibi projenin istenen zamanda teslim edilmesi için gerekli ek kaynakların hangi faaliyetlere yöneltilmesi PERT analizi ile bulunabilir. Boşluk analizi bu durumda yararlı olabilir.

Bu anlattıklarımızı bir de örnek üzerinde görelim.

Örnek 3: Sekiz olaylı ve 11 faaliyetli bir proje ele alalım aşağıdaki tabloda PERT tahmin süreleri verilmiştir süreler gün olarak ifade edilmektedir.

Tablo 6 PERT tahmin süreleri

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

İstenenler:

  1. Her faaliyet için ortalama beklenen zaman ve varyansın hesaplanması

  2. Projenin şebeke diyagramının çizimi

  3. Projenin kritik yolunun bulunması

  4. Projenin toplam beklenen zaman gösteren dağılımının standart sapmasnın hesaplanması

  5. Projenin 19 günde veya daha az sürede tamamlanma olasılığının bulunması

  6. Projenin tamamlanması için bulunan zamansa projenin tamamlanacağında %95v emin olunması istenildiğinde projenin bitim süresinin ne olması gerektiğinin bulunması

    7. ÇÖZÜM: a) Öncelikle bize verilen değerlerden yola çıkarak yukarıdaki formüller yardımıyla beklenen zamanları ve varyansları hesaplayalım.

    Tablo 7 Beklenen zamanlar ve varyanslar

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    b) Bu değerler bulunduktan sonra, şebeke diyagramını oluşturalım. Burada yapılacak olan işlemler CPM ile aynıdır. CPM mantığında yola çıkarak şebeke oluşturulacaktır.

     

     

     

     

    c) Başlangıçtan bitime kadar olan zamanda en fazla beklenen zamanları alan yol kritik yol olarak adlandırıldığından bizim bu örneğimizde kritik yol 1-2-4-6-7-8 yolu olacaktır ve zamanı da µ= 19,83 gündür. Varyans hesaplarına bakılacak olursa kritik yol üzerinde en büyük varyans değeri olan faaliyetler yoktur. Büyük varyans değerli faaliyetler analiz edilerek projenin daha önce bitirilmesi için hız kazandırılabilir.

    d) Projenin toplam beklenen zamanı

    µ= 4,17 + 4,83 + 2,83 + 5 + 3

    µ= 19,83 gündür.

    Varyansı ise σ2 = 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,44 + 0,11

    σ2 = 1,3 gündür.

    Standart sapma ise σ = √1,3 = 1,14 gόndür.

    e) Analitik araçlar projenin anlaşmada öngörülen zamanda bitirilmesi olasılığını sağlar. Tek bir olayın öngörülen zamanda tamamlanma olasılığının bilinmesi önemli olmasına karşın, tüm projenin istenilen sürede (y) bitirilmesi daha önemlidir.

    Z simgesi normal dağılım tablosunda olasılık değerini gösterir.

    y = 19 gün µ= 19,83 gün σ = 1,14

    Z = y- µ / σ = 19- 19,83 / 1,14 = - 0,64

    Z = -0,64 normal eğri altında ortalamanın sol tarafındaki alanda yer almaktadır. Normal olasılık eğrisi altındaki alanda 0,64 değeri 0,2389 dur. Projenin istenen zamanda gerçekleşme olasılığı Pr = 0,50 – 0,2389 = 0,2611 dir. Yani projenin 19 günde tamamlanma olasılığı % 26 dır.

     

  7. % 95 olasılığın normal dağılım tablosunda z değeri Z = 1,645 tir. y için istenen tahmini değeri bulmak için aşağıdaki formül yararlı olacaktır.

y = µ + σ (z)

y = 19,83 + (1,14) (1,645)

y = 21,97 gün.

Buradan çıkacak sonuç ise projenin 22 günde bitirilme olasılığı % 95 tir. Başka bir deyişle projenin tamamlanmasını % 95 güvenceye almak için 22 gün gereklidir.