Son yıllarda yönetsel karar vermede görülen köklü değişim, nicel tekniklerin başarılı uygulanışı ile bilgi işlemlerin geniş kullanımına bağlanabilir. Günümüz toplumu farklı ve karmaşık kuruluşlardan oluşmaktadır. Karmaşık kuruluşlar da karmaşık karar problemlerini yaratırlar. (Yeni bir ürünü pazara tanıtan işletmenin durumunu ele alalım.) Yeni ürünü pazara tanıtırken, pazar koşulları, eldeki emek miktarı, gerekli yatırımı karşılayacak fon kaynakları gibi etkenler, kuşkusuz işletmenin kararını etkileyecektir. İşletmenin yeni ürün tanıtımı için verdiği karar, maliyet, ürün niteliği, üretim yöntemi, paketleme tasarımı (dizayn), fiyat, pazarlama ve pazarlama stratejisi gibi çok yönlü konulara yatkın düşmelidir. Söz konusu karar işletmelerinin her aşamasını etkileyebilir. Bu nedenle, ele alınan problem karmaşık bir problem özelliği taşır.

İşletmelerin karşılaştığı karar problemlerinin çözümü yöneticilere düşer. Fakat kararlara etki eden tüm koşulları ele almak ve tüm elverişli karar seçeneklerinden beklenen sonuçları belirlemek de pek kolay değildir. İşte bu noktada iyi karara ulaşabilmek için problemlerin sağlıklı analizi ve araştırılması için bilimsel yöntemler kullanılmadır.

"Nicel karar verme", "yöneylem araştırması" ve "yönetim bilimi" gibi adlar taşıyan disiplinlerin doğuşu ekonomik ve askeri alanlarda daha iyi kararlara ulaşmayı sağlamıştır. Ayrıca muhasebe disiplininin gelişmesinin ve yöntemlerinin işletmelerde uygulanışının yöneticilere, kararları için gerekli olan sağlıklı bilgileri vermede yardımcı olduğu da gözden kaçırılmamalıdır. Şimdi karar vermede yaygın kullanım alanı olan yöneylem araştırmasına değinelim.

Yöneylem Araştırmasının savaş döneminde yarattığı olumlu etki, birçok işletmeleri onu karar problemlerinin çözümünde bir araç olarak kullanmaya itmiştir. Bugün Yöneylem Araştırmasının girmediği alan yok gibidir. Şimdi kısaca Yöneylem Araştırmasının tanımına değinerek bu yöntemi açıklamaya çalışalım.

21. yüzyıla çok az bir zaman kalmıştır. Bu yüzyılda işletmelerin hayatta kalabilmeleri ve başarılı olmaları, onların sürekli iyileştirme süreci içinde yüksek kaliteli ürün ve hizmet üretmeyi temel ilke edinen yeni yönetim sistemlerini uygulamaya geçmelerine bağlıdır. Yöneylem Araştırması üretim kaynaklarının en etkin kullanımı, hatalı ürünlerin ve süreçlerin en aza indirilmesi, verimliliğin artırılması, ürün kalitesi ve müşteri tatminini en çoğa yükseltilmesi gibi pek çok konularda işletmelere, etkin olarak yardımcı olabilmektedir. Son yıllarda çağdaş işletmelerin ve ülkelerin yöneldiği Toplam Kalite Yönetiminin başarısında, yöneylem araştırmasının önemli bir paya sahip olacağı görüşündeyiz.

Görülüyor ki, yöneylem araştırmasının etkisi her alanda artmaya devam edecektir. Türkiye'de yöneylem araştırması eğitimine önem giderek artmakta ve her yıl ulusal düzeyde Yöneylem Araştırması Kongreleri yapılmaktadır. Önümüzdeki yıllarda, her işletme yöneylem araştırmacı analistlerini istihdam etme durumunda olacağını şimdiden söyleyebiliriz. Örneğin, A.B.D. İşgücü İstatistikleri Bürosu'nun yaptığı analize göre; 1990-2025 yılı arasında Amerikan Üniversitelerinde en hızlı büyüyen (ilgi duyulan) üçüncü mesleğin yöneylem araştırmacısı olacağı ve 2005 yılına kadar yöneylem araştırması analisti olarak 100.000 kişinin istihdam edileceği öngörülmüştür.

1. Kanonikal şekildeki primal doğrusal programlama probleminin dual şekilde yazılımı.

Doğrusal programlama probleminin genel matematiksel şeklinde amaç fonksiyonu maksimizasyon ve tüm kısıtlayıcıların eşitsizliği (<) yönündedir.

En çoklama Z = ∑c_jx_j

n

Z = ∑a_ijx_j < b_j İ=l,2,....,m

j=l,2,.....,n

En küçükleme W = b₁ y₁ + b₂ y₂ + ........+ b_m y_m

a₁₂ y₁ + a₂₂ y₂ +...+a_m1y_m > c₂

.

.

.

a_1n y₁ + a_2n y₂ +...+a_m1y_m > c_n

Burada

yı,y₂,........,y_m y;>0 dual değişkenlerdir. Kısa şekilde dual problemi ise ,

En Küçükleme W = ∑ b_iy_i

y=1

∑ a_ij y_i > c_j j=1,2,.....,n

İ=1

Ve y_i> 0 i=l,2,.....,m

1. Primal problem bir maksimizasyon problemi ise onun dual problemi minimizasyondur.

2. Kanonikal şekildeki maksimizasyon primal problemin kısıtlayıcılarının yönü (<) ise minimizasyon dual problemde kısıtlayıcıların yönü (>) dür.

3. Minimizasyon amaçlı dual problemin dual değişkenlerinin amaç katsayısı olarak primal problem kısıtlayıcı denklemlerinin sağ tarafındaki kaynakları (bı, b₂.....b_m) kullanır.

a₁₁ a₂₁

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₂ a₂₂

a₂₁ a₂₂ a₂₃ = A a₁₃ a₂₃ = A'

ÖRNEK 1.1

Minimum Z = x₁ + x₂ +x₃+x₄+x₅+x₆

Kısıtlayıcılar

ve x₁ , x₂ ,x_3,x_4,x_5,x₆ > 0

Dual problem ise

Maksimum Y = 7 y₁ +20 y₂ + 14 y₃ +20 y₄ + 10 y₅ +5 y₆

ve y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, y₆ > 0

Genelde standart şekilde verilen primal problem aşağıdaki gibidir.

Maksimum Z = ∑ c_j x_j

n

∑a_ijx_{j =} b_j İ=l,2,....,m

j=l,2,.....,n

En Küçükleme Y = ∑ b_iy_i

y=1

∑ a_ij y_i > c_j j=1,2,.....,n

İ=1

ve y_i , tüm (i) ler için sınıflandırılmamıştır.

Max Z = 10 x₁ + 15 x₂ + 20 x₃ + 25 x₄

8 x₁ + 6 x₂ - x₃ + x₄ < 16

3 x₁ +2x₃ - x₄ = 20

ve x₁ , x_{2 ,} x₃ , x₄ > 0

Dual problem,

Minumum Y = 16 y₁ + 20 y₂

8 y₁ + 3 y₂ > 10

6 y₁ > 15

- y₁ + 2 y₂ > 20

y₁ - y₂ > 25

y₁ > 0

Doğrusal programlama problemi max amaçlı, tüm kısıtlayıcıları < ve tüm değişkenleri > 0 ise bu problem normal max problemidir. Eğer problem min amaçlı, tüm kısıtlayıcıları > yönde ve tüm değişkenleri > 0 ise bu normal min problemidir. Ne yazık ki, çoğu doğrusal programlama problemleri normal max veya normal min problemler değildir. Normal olmayan max doğrusal programlama problemine bir örnek olarak aşağıdaki problem verilebilir.

Max Z = 2x₁ + x₂

x₁ - x₂ < 1

ve x₁ > 0 , x₂ sınırlandırılmamış işarette.

Görüldüğü üzere problem > kısıtlayıcısı, = kısıtlayıcısı ve sınırlandırılmamış işaretli değişken olduğu için normal max problem değildir. Bu problem aşağıdaki adımlar izlenerek normal biçime dönüştürülebilir.

Adım 1 > yönündeki kısıtlayıcı -1 ile çarpılarak < yönüne dönüştürülür.

Örneğin 2x₁ – x₂ > 3 eşitsizliği -2x₁ + x₂ < -3 olur.

Adım 2 Her eşitlik > ve < yönündeki iki eşitsizlikle yerine getirilebilir.

Örneğin x₁ + x₂ = 2 eşitliği x₁ + x₂ > 2 ve x₁ + x₂ < 2 eşitsizliği ile ifade edilir. x₁ + x₂ > 2 eşitsizliği de - x₁ - x₂ < -2 şekline dönüştürülür.

Bu işlemler tamamlandığında yukarıdaki problem normal doğrusal programlama problemine dönüşür. Yani,

- x₁ - x₂⁺ + x₂^- < -2

-2x₁+ x₂⁺ - x₂^- < -3

x₁ - x₂⁺ + x₂^- < 1

ve x₁, x₂⁺ , x₂^-0

standart şekildeki primal problemi dual şekle dönüştürüldüğünde ortaya yeni ilişkiler de çıkmaktadır. Bunlar : 1. Primal problem maksimizasyon amaçlı ve kısıtlayıcı denklemler(=) eşitlik halinde ise dual problem minimum amaçlı olduğu gibi kısıtlayıcı denklemlerin yönü () olacaktır. 2. Minimizasyon amaçlı primal problemin kısıtlayıcı denklemleri (=) eşitlik halinde ise maksimizasyon amaçlı dual problemin kısıtlayıcı denklemleri () yönde olacaktır. 3. Primal problemin değişkenleri sınırlandırılmamış işarette ise bunların karşılığı dual kısıtlayıcıları (=) eşitlikte olacaktır. 4.Primal problemin kısıtlayıcıları (=) eşitlikte ise buna karşılık olan dual değişkenler sınırlandırılmamış işarette olacaktır. 5.Simetriden ötürü dual

problemin duali primal problem olacaktır.

a) Primal problemin x_j(j= 1, 2,........n) değişkeni için bir optimal çözüm

b) Dual problem y_i (i= 1,2,......m) değişkeni için bir optimal çözüm vardır.

Yani Z<Y

1. Eğer dual problem minimizasyon amaçlı ise kısıtlayıcıların yönünün ( > ) olması gerekir. (>) yöndeki kısıtlayıcı denklemin her iki tarafı (-1) ile çarpılırsa Kısıtlayıcının yönü ( < ) olur.
2. Eğer dual problem maksimizasyon amaçlı ise kısıtlayıcılarının yönünün < olması gerekir. Eğer > yönde ise yukarıdaki işlemin aynı uygulanır.

Fen Motor Şirketi gömlek ve piston üretmektedir. Gömlek ve pistonlara tornada işlem gördürülmekte, ayrıca pistonlar kaplanmaktadır. Bir gömlek yapımı için 1 saat torna işine ve 1 kg ' da çeliğe gerek vardır. Bir piston üretimi içinde 1.5 saat torna zamanı, 0.5 saat kaplama ve 1 kg da çelik kullanılmaktadır. Şirketin haftalık elverişli kaynakları ise 750 saat torna, 200 saat kaplama kapasitesi ile 600 kg. çeliktir. Bir gömlek satımından şirketin karı 3 TL. ve bir piston satımından sağlanan karı ise 4 TL dir. Yönetici karını en çoklayacak karar değişkenlerinin değerini yani haftada üreteceği gömlek ve piston sayısını belirlemek istemektedir.

x₁ = Haftada üretilecek gömlek sayısını

x₂ = Haftada üretilecek piston sayısını

Primal problem:

En çoklama Z = 3 x₁ + 4 x₂

x₁ + 1.5 x₂ < 750 (torna zamanı kısıtlayıcısı)

0,5 x₂ < 200 (kaplama zamanı kısıtlayıcısı)

x₁+ x₂ < 600 (çelik miktarı kısıtlayıcısı)

ve

x₁ > 0 , x₂ > 0

Primal problemin üç kısıtlayıcısı olduğuna göre dual problemin üç tane değişkeni y₁ , y₂, y₃ olmalıdır. Dual problemin teşkili için ilgili kuralları uygulayarak, dual problem aşağıdaki şekilde yazılır.

En küçükleme W = 750 yı + 200 y₂ + 600 y₃

yı + y₃ > 3

1.5yı + 0.5y₂ + y₃ > 4

ve

Burada, yı , y₂, y₃ değişkenleri, ek bir birim torna zamanın, ek bir birim (saat) kaplama zamanın ve ek bir kg çeliğin marjinal değerini gösterir.

Dual

y₁ + y₃ – V₁ + A₁ = 3

1,5 y₁ + 0,5 y₂ + y₃ – V₂ + A₂ = 4

ve y₁ , y₂ , y₃ , V₁, V₂, A₁ , A₂ > 0

Primal ve dual değişkenler arasında bire bir dolaysız ilişki olduğu görülmektedir.

1. Her bir primal karar değişkeni dual artık değişken ile yakın ilişkilidir. (örneğimizde, x₁ ve Vı , x₂ ve V₂)

2. Her bir dual karar değişkeni, primal aylak değişken ile yakın ilişkilidir (örneğimizde, yı ve Sı , y₂ ve S₂ , y₃ ve S₃ )

Dual problemin optimal çözümünü bulmak için önce başlangıç simpleks tablosu düzenlenir ve sonra simpleks çözüm yöntem işlemleri izlenerek optimal çözüme ulaşılır.

x=300 V=0

x=300 V=0

S=0 y =2

S=50 y=0

S=0 y =1

Dual değişkenler y y y

Aylak değişkenler S S S

zj - satır katsayıları 2 0 1

5. Eğer dual değişken yapay değişkeni içeren primal kısıtlayıcıya karşılıksa, dual değişkenin optimal değeri optimal primal simpleks çözüm tablosunda yapay değişkenin altındaki cj — satırındaki elemanın ters işaretlisi olarak bulunur. (M için sıfır değeri verilir).

İkilik probleminin kısıtlayıcı denklemlerini ele aldığımızda bu konuda şunları söyleyebiliriz.

Herhangi bir kısıtlayıcı denkleminde, eğer kaynakların toplam marjinal değeri sağ taraftaki kar değerini aşar ise istenen kaynak gereğinden fazla olacağından, o ürün üretilmemelidir. Kaynakların marjinal değerinin miktarı kar değerinden fazla olduğunda bu fazla miktar elverişli kaynakların etkin olmayan dağıtımından sonuçlanacak fırsat kaybını veya maliyetini ifade eder. Eğer kaynakların toplam marjinal değeri denklemin sağ tarafındaki değer ile tam bir eşitlik gösterirse, kaynaklar etkin bir şekilde kullanılıyor demektir. Marjinal değer, söz konusu kaynaktan bir birim daha olduğunda amaç fonksiyonuna yapacağı katkıdır.

Örnek de durum ele alınırsa; birinci dual kısıtlayıcı, bir gömlek üretimi için istenen 1 saatlik torna zaman ile 1 kg çeliğin marjinal değerlerinin yani marjinal maliyetlerinin toplamı bir gömleğin sağlayacağı 3 TL. lik kara en az eşit olmalıdır. İkinci dual kısıtlayıcıda, bir piston üretimi için gerekli olan 1.5 saatlik torna zamanının, 0.5 saatlik kaplama zamanının ve 1 kg. çeliğin marjinal değerlerinin (maliyetlerinin) toplamı 1 pistonun sağlayacağı 4 TL. lik kardan az olmamalıdır.

Dual değişkenlerin optimal değerlerini gölge fiyatlar olarak adlandırmıştık. Gölge fiyatlar, herhangi bir üretim kaynağının miktarının bir birim arttırılması veya azaltılması durumunda amaç fonksiyonunda meydana gelecek artış veya azalış olarak tanımlanır. Üretim kaynaklarının marjinal verimlilik değerlerini gösteren gölge fiyatlar, sözü edilen üretim kaynaklarının gerçek piyasa fiyatlarıdır. Gerçek piyasa fiyatı tam yarışım (rekabet) koşullarında sunum-istem (arz-talep) dengesinin oluşturduğu fiyatlardır. Fakat günümüzde piyasada oluşan fiyatlar, piyasa mekanizmasının aksak işlemcisi, devletin ekonomiye dolaylı müdahalesi ve piyasada görülen tekelci eğilimler nedeni ile gerçek piyasa fiyatı olmamaktadır. Gelişen ülkelerde bazı kaynaklar (sermaye, kalifiye işgücü, döviz vb.) kıt kaynaklardır. Kıt kaynakların en etkin kullanımı ve diğer üretim faktörlerinin optimal dağılımı sağlamada gölge fiyatları iyi bir gösterge olabilmektedir. Fakat gölge fiyatları bir dağılım işlevini yerine getirmez.

Gölge fiyatlarının iktisatta önemi oldukça fazladır. Neo-klasik kaynak dağılımı kuramına göre en çok kar, üretim faktörlerinin marjinal verimlilik değerleri ile fiyatların eşit olduğu düzeye kadar kullanıldığında elde edilmektedir. Daha önce de ifade ettiğimiz gibi bir kaynağın gölge fiyatı, o kaynağın marjinal verimini gösterir. Gölge fiyatları ayni zamanda bir ekonominin yarışımdan ne kadar uzaklaştığı ile üretim faktörlerinin kıtlık ve bolluk derecelerini gösterir. Şöyle ki, kıt üretim faktörlerinin gölge fiyatları ile cari piyasa fiyatları arasında bir fark vardır. Bu fark ne kadar yüksekse, ekonominin yarışım koşullarından hayli uzaklaşmış olduğunu, tekelci öğelerin ne gibi rol oynadığını ve de fiyat mekanizmasının çok aksak işlediğini gösterir. Öte yandan, gölge fiyat değeri sıfır olan üretim faktörü ihtiyaçtan da-ha bol kaynak olurken, gölge fiyatı yüksek pozitif değerli üretim faktörleri ise kıt kaynaklar olmaktadır. Kaynakların optimal dağılımını amaçlayan problemlerde piyasa fiyatının yerine gölge fiyatların kullanılmasının daha sağlıklı olacağı görülmektedir. Gölge fiyatları firmanın elindeki verilerin sayılarını arttırarak yöneticiye karar vermede yardımcı olur. Yönetici gölge fiyatı yüksek olan girdiden az, gölge fiyatı düşük olan veya sıfır olan girdilerden daha çok kullanım yoluna giderek toplam üretim maliyetini (gölge fiyatlarına göre) en küçük kılmaya çalışacaktır.

Optimal primal ve dual çözüler, ekonomik bakımdan piyasada diğer firmalara karşı rekabet eden üreticilerin karşılaştığı probleme bir 'denge çözümü' getirir. Bir bakıma, üretici ve Pazar, üreticinin kaynakları üzerinde iç fiyatlar (internal prices) oluşturur, böylece dengede kaynaklarla elde edilecek maksimum kar, kaynakların minimum değerine eşit olur. Üretici tarafından sahip olunan bir kaynak, tam olarak optimal çözümde yararlanılamıyorsa, Pazar üreticinin aleyhine çalışarak kaynak fazlası üzerinde sıfır değeri oluşturur. Kaynak fazlasının bir birim fazlasının üreticiye hiçbir değeri yoktur. Diğer taraftan, eğer bir kaynak tamamen optimal çözümde yararlanılırsa, mesela, kıt bir kaynaksa, bir birim extra , üreticiye pozitif değer vermelidir.

eşitsizliğin sol tarafında üç tane üretim kaynağına (faktörü) ait bilinmeyen (y , y , y ) gölge fiyat değişkeni ile birim üretimde kullanılan girdi katsayıları görülmektedir. a y , bir nolu üretim kaynağının, a y iki nolu üretim kaynağının, ay üç nolu üretim kaynağının birinci maldan bir birim üretmek için gerekli olan maliyetlerini gösterir. Bu eşitsizliği eşitliğe dönüştürmek için artık değişkenin (V) çıkarılması gerekir.

ay + ay+ ay bir nolu malın birim üretim maliyetini, C bir nolu malın birim satış karını (veya fiyatını) gösterir. V değişkeni 1 nolu malın birim maliyetinin satış karından (fiyatından) fazla olan kısmını bir anlamda göreli bir zararı yani fırsat maliyetini gösterir.

Görüldüğü gibi, bir birim ürün 1 üretmenin fırsat maliyeti yani 1 nolu malin üretimini bir birim arttırmanın etkisi potansiyel kardan net bir kayıp olmaktadır. Bir malın üretiminin fırsat maliyeti gerçekten karı aşarsa, üretim kaynaklarının dağıtımı kesinlikle optimal olmayacaktır ve bazı üretim kaynakları atıl kalacaktır. Ayrıca bir malın üretilmesi ancak bunun fırsat maliyetinin birim kardan az veya eşit olması durumunda yapılmaktadır.

Primal ve ikilik problemlerinin optimal simpleks çözüm tablolarında fırsat ve gölge fiyatların değerleri bulunur.

Primal simpleks çözüm tablosunda, primal temel olmayan değişkenlerin altındaki zj — c veya cj — zj elemanlan ikilik problemin temel değişkeni olmakta ve bunlar kaynakların bir birim artırmanın marjinal verimini yani gölge fiyatını gösterir. Primal temel değişkenlerin altında zj — cj satırındaki elemanlar dual temel olmayan değişkenleri verir. Bu temel olmayan değişkenlerin karşılığı olan aylak değişken değerleri de malların birim fırsat maliyelini gösterir. Bizim primal tabloda, temel olmayan değişkenler S ve S ve temel değişkenler, x,x ve S dir. Buna göre gölge fiyatlar y = 2 ve y= 1 fırsat maliyeti ise V = 0, V = 0 dır. Artık değişken V sıfır olduğundan, gömlek üretimine gidecek kaynakların marjinal değeri tam olarak gömleğin birim karına eşittir. Bu durum piston üretimi için de aynıdır. Gömlek ve piston üretiminin fırsat maliyeti sıfır olduğundan her ikisinin üretimi firma için karlıdır. Eğer artık değişkenlerin değeri sıfırdan büyük olursa o malın üretimi için kullanılacak kaynakların marjinal değeri karı aşacağından zarar söz konusudur. Bu nedenle söz edilen mal üretilmez.

Aylak değişken yani kullanılmayan kaynak miktarı sıfır olduğunda, bu durum aylak değişkenin ilgili olduğu üretim kaynağının tamamen kullanıldığını gösterir. S= 0 olduğundan, firmanın elindeki 750 saatlik torna kapasitesi tamamen kullanılmış demektir. Ayrıca bu kaynağın karşılığı olan gölge fiyatının değeri pozitif olacaktır. y =2, ek bir saat torna çalışma zamanı firmanın toplam karını 2 TL. artırır. Aylak değişken pozitif olduğunda, ilgili üretim kaynağı tam kullanılmadığından, bu üretim kaynağının gölge fiyat değeri sıfırdır. S =50 olduğundan, kaplama makinasının 50 saati kullanılmamaktadır. Ek kaplama saatinin marjinal verimi sıfır yani gölge fiyatı y =0 dır.

İkilik optimal simpleks çözüm tablosunda, ikilik temel değişkenlerin değeri gölge fiyat olurken, dual temel değişkenlerin altındaki z -- cj satir elemanları primal temel olmayan değişkenler olmaktadır. Primal temel olmayan değişkenler aynı zamanda gömlek ve piston üretiminin fırsat maliyetini verir. V = 0, V= 0 dır.

Sonu^ olarak doğrusal programlama modeli yöneticilere gerek mikro ve gerekse makro düzeydeki kararlarında oldukça yararlı olduğu görülmektedir. Yönetici firmada ek kaynak kullanımı ile üretimin nerede karlı olacağını ve yatırımlar için hangi alanların çekici olacağı konusunda bir sürü kararları, fırsat ve gölge fiyatlar kavramını kullanarak öğrenebilir. Ayrıca gölge fiyatlar optimal kaynak dağılımının bir göstergesi olduğundan, piyasa fiyatlarının gölge fiyatlardan ne ölçüde saptığını belirlemek ve de bu sapmayı önlemek için ne gibi politikaların yönetici tarafından yürütülmesi konusunda bilgi verir.

-Gass, Saul I, Linear Programming: Methods and Applications,Fifth Edition,McGRAW-HILL BOOK COMPANY,1985.

-Öztürk,Ahmet, Yöneylem Araştırması, 4.Baskı, Ekin Kitabevi Yayınları, Bursa,1994.