FORECASTİNG (ÖNGÖRÜ)

KAYAN ORTALAMA METODU

Xt zaman serisinin periyod t süresinde gözlenen değeri olmak üzere, bir zaman serisinin gözlenen değerleri x1, x2, ……, xt , …. olsun. En genel kullanılan öngörü metodlarından biri kayan ortalama metodudur. Burada ft,1 i xt değeri gözlendikten sonra periyod t+1 için yapılan öngörü olarak tanımlayalım. kayan ortalama metodu için,

ft,1 = son N gözlemin ortalaması

= xt, xt-1, xt-2, …… , xt-N+1

Burada N verilen bir parametredir.

Şimdi kayan ortalama metodunun nasıl kullanıldığına bakalım. Örnekte N=3 tür.

Ay

TV Satışları

CD Satışları

AC Satışları

1

30

40

13

2

32

47

7

3

30

50

23

4

39

49

32

5

33

56

58

6

34

53

60

7

34

55

90

8

38

63

93

9

36

68

63

10

39

65

39

11

30

72

37

12

36

69

29

13

38

79

36

14

30

82

21

15

35

80

47

16

30

85

81

17

34

94

112

18

40

89

139

19

36

96

230

20

32

100

201

21

40

100

122

22

36

105

84

23

40

108

74

24

34

110

62

Tablo 1

Örneğimizde televizyon satışları için öngörüler yapalım. Ay1, ay2 ve ay3 için henüz 3 aylık satış verisi gözlemlemediğimiz için (N=3) bu aylar için bir kayan ortalama öngörüsü yapamıyoruz. Ay 4 için, f3,1 = (30+32+30)/3 = 30.67 . Ay 5 için f4,1 = (32+30+39)/3 = 33.67 . Ay 6 için, öngörümüz f5,1 = (30+39+33)/3 = 34.

Bir periyoddan diğerine geçerken, öngörümüzün gözlemlenen en eski değeri, gözlemlenen en yeni değerle değiştirerek hareket ettiğine dikkat edin.

N ' in Seçimi

Kayan ortalama hesaplamakta kullanılan periyod sayısı olan N değerini nasıl seçmeliyiz? Bu soruyu cevaplamak için, öngörü doğruluğunun bir ölçütünü tanımlamalıyız. Öngörü doğruluğunun bir ölçütü olarak ortalama mutlak sapma (MAD)'yı kullanacağız. MAD'yi tanımlamadan önce öngörü hatası kavramını tanımlamalıyız. Periyod t için bir öngörü olarak xt verilirse, xt için öngörümüzdeki hata et'yi,

et = xt - (xt için öngörülen değer)

olarak tanımlarız. Buna göre Tablo 2'de e4= 39 - 30.67 = 8.33, e5 = 33 - 33.67 = -0.67 ve e6 = 34 - 34 = 0. MAD değeri et'nin mutlak değerlerinin ortalamasına eşittir. Böylece, periyodlar 1-6 için , kayan ortalama metodumuz şöyle bir MAD değeri gösterir,

 

 

Ay

Gerçek Satışlar

Öngörülen Satışlar

1

30

-

2

32

-

3

30

-

4

39

30.67

5

33

33.67

6

34

34.00

Tablo 2

 

 

MAD = (8.33+0.67+0)/3 = 3 .

Böylece, ortalamada TV satışları için öngörülerimiz ortalama her ay 3 TV uzaktadır.

MAD'yi minimize edecek bir N değeri seçmek mantıklı bir yol gibi gözükmektedir. Eğer kayan ortalama tekniğini Tablo 1'deki TV satışlarının tüm 24 ayına da uygularsak, Tablo 3'teki MAD değerlerini buluruz. Buna göre, 3- veya 4- periyod bir kayan ortalama metodu TV satışları için en iyi öngörüleri vermektedir.

 

 

 

N

MAD

2

3.21

3

2.78

4

2.79

5

2.99

6

3.27

Tablo 3

Şekil 1

 

Kayan ortalama öngörüleri belli bir sabit temel düzey etrafında gidip gelen zaman serileri için iyi performans gösterir. Figür 1'den görülebildiği üzere TV satışları 35 temel düzeyinin etrafında gidip gelmektedir.

Daha resmi olarak, kayan ortalama öngörüleri, ancak

Xt = b + e t (1)

Olduğu zaman iyi performans gösterirler. Burada b zaman serisi için temel düzey ve e t periyod t içerisinde temel düzey etrafında olan rasgele dalgalanmadır.

Figür 2 ve 3'ten CD ve AC satışlarının Denklem(1) tarfafından iyi tanımlanmadığını görüyoruz. Figür 2'de CD satışlarında yukarı doğru bir trend görüyoruz, yani CD satışları belli bir seviye etrafında dalgalanma göstermiyorlar. Figür 3'te, AC satışlarının dönemsellik gösterdiğini görüyoruz. Alt ve üst düzeyler 12-ay aralıklarla kendilerini tekrar etmekteler. Figür 3'te AC satışlarının yukarı doğru bir trend içerisinde olduğunu gösteriyor. Trend ya da dönemselliğin mevcut olduğu durumlarda kayan ortalama tekniği kötü sonuçlar verir.

Şekil 2

Ţekil 3

 

ÜSSEL DÜZLEŞTİRME

Eğer bir zaman serisi bir temel düzeyin etrafında dalgalanıyorsa, üssel düzleştirme serinin gelecek değerlerinin iyi öngörülerini elde etmek için kullanılabilir. Üssel düzleştirmeyi anlatmak için, At = xt gözlemlendikten sonra bir zaman serisinin düzeltilmiş ortalaması olsun. Xt gözlemlendikten sonra, At zaman serisinin gelecek herhangi bir periyod sırasındaki değeri için bir öngörü olur. Üssel düzleştirmedeki kilit denklem aşağıda verilmiştir:

At=a xt+(1-a )At-1 (2)

In (2), a 0<a <1 kısıtını sağlayan düzeltici bir sabittir. Öngörü prosedürünü başlatmak için, A0 için ( x1'i gözlemlemeden önce) bir değere sahip olmak zorundayız. Genelde, A0 periyod 1'den hemen önceki periyodun değeri olarak alınır. Kayan ortalama öngörülerinde olduğu gibi, ft,k periyod t'nin sonunda xt+k için yapılan öngörü olsun. O zaman

At=ft+k (3)

Bir periyod ötesini öngördüğümüzü varsayarak, xt'yi öngörürken yaptığımız hata (yine et olarak gösterilir) aşağıdaki gibidir :

et = xt - ft-1,1=xt-At-1 (4)

(2)'I daha iyi anlamak için, (4)'ü (2)'yi yeniden yazmak için kullanalım :

At = At-1+a (xt-At-1)=At-1+ a et

Böylece, yeni öngörümüz At=ft, 1 eski öngörümüz (At-1) artı periyod t hatamız et'nin bir kesirine eşittir. a 'nın daha büyük değerleri için, en son gözleme daha büyük ağırlık verilir (Bkz. Uyarı3).

Biz üssel düzleştirmeyi (a =0.1) TV satışlarının ilk 6 ayıyla örnekle açıklıyoruz. Sonuçlar Tablo 4'te verilmiştir. Geçen ay 32 TV satıldığını varsayarak prosedürümüzü A0=32 ile başlatıyoruz.

Ay

Gerçek Satışlar

Öngörü

At

et

1

30

32.00

31.80

-2.00

2

32

31.80

31.82

0.20

3

30

31.82

31.64

-1.82

4

39

31.64

32.37

7.36

5

33

32.37

32.44

0.63

6

34

32.44

32.60

1.56

Tablo 4

 

 

Aşağıda bazı hesaplamalar gösterilmiştir :

At=0.1x1+0.9A0=0.1*(30)+0.9*(32)=31.8

f0,1=A0=32

e1=x1-A0=30-32=-2

f1,1=A1=31.8

e2=x2-A1=32-31.8=0.2

A2=0.1x2+0.9A1=0.1(32)+0.9*(31.8)=31.82.

 

Aylar 1-6 için, öngörümüzün MAD'si

MAD=(2+0.2+1.82+7.36+0.63+1.56)/6=2.26

Tüm 24 ay için, en düşük MAD'yi veren a 'yı bulmalıyız. Sonuçlar Tablo5'te gözükmektedir. 0.20 ile 0.30 arasındaki bir değer en düşük MAD'yi elde etmektedir.

a

MAD

0.05

3.20

0.10

3.04

0.15

2.94

0.20

2.89

0.25

2.88

0.30

2.90

0.35

2.94

0.40

2.98

0.45

3.05

0.50

3.13

Tablo 5

UYARILAR

1 a <1 olduğu için , üssel düzleştirmebir zaman serisindeki sapmaları son gözleme bütün ağırlığı vermeyerek düzeltir.

2 Eğer a =2/(N+1), üssel düzleştirme( düzeltici sabit a =0.3) ve bir N-periyod kayan ortalama öngörüsü benzer değerler elde eder. Örneğin, a =0.33 yaklaşık olarak 5-periyod kayan ortalamaa eşittir.

3 Neden üssel düzleştirmedediğimizi görmek için, (2)'yi t-1 için düşünün,

At-1=a xt-1+(1-a )At-2 (5)

(5)'i (2)'nin içerisine koyarsak

At=a xt+(1-a )[a Xt-1+(1-a )At-2]

=a xt+a (1-a )xt-1+(1-a )2At-2 (6)

Dikkat edin ki

At-2=a xt-2+(1-a )At-3 (7)

 

(7)'yi (6)'nın içine koyarsanız,

At=a xt+a (1-a )xt-1+a (1-a )2xt-2+(1-a )3At-3

Bu işlemi tekrarlarsak,

At=a xt+a (1-a )xt-1+a (1-a )2xt-2+…+a (1-a )kxt-k+… (8)

a +a (1-a )+a (1-a )2+….=1, (8) geriye doğru sonsuz periyod gidersek, mevcut düzeltilmiş değerimiz geçmiş bütün gözlemlerin ağırlıklı bir ortalamasıdır. a 'nın değeri büyüdükçe

4 Pratikte a değerleri 0.10, 0.30 veya 0.50 olarak seçilir. Eğer MAD'yi minimize eden a değeri 0.5'i geçerse, muhtemelen bir trend ya da dönemsellik mevcuttur. Bu tür durumlarda, muhtemelen daha iyi öngörüler Holt Metodu ya da Winter Metodu ile elde edilebilir.

5 Eğer bir zaman serisi sabit bir temel düzey etrafında dalgalanmıyorsa da, üssel düzleştirme halen iyi öngörüler sağlayabilir. Eğer xt=mt+e t ve mt=mt-1+d t ise (e t ve d t ortalama değerleri 0 olan bağımsız hata terimleridir), bu durumda üssel düzleştirme iyi öngörüler sağlayabilir.Bu şunu ifade eder: Eğer ortalama talep (mt) zaman içerisinde rasgele değişiyorsa, üssel düzleştirme halen ürün talebi için iyi öngörülerini sağlayabilir.

 

 

ÖRNEKLER

Kayan ortalama

Tabloda bir mamul için talep verileri verilmiştir. Kayan ortalama metodunu kullanarak gelecek ayın talebini bulunuz.

Ay,t

Talep,dt

Ay,t

Talep,dt

1

46

13

54

2

56

14

42

3

54

15

64

4

43

16

60

5

57

17

70

6

56

18

66

7

67

19

57

8

62

20

55

9

50

21

52

10

56

22

62

11

47

23

70

12

56

24

72

Tablo 6

Öncelikle Kayan ortalama metodunun uygulanabilirliğini görmek için verilen verileri inceleyelim. Aşağıdaki çizimden de görülebileceği gibi verilen veriler yukarı doğru bir trend göstermekte. Yani kayan ortalama metodu aslında bize iyi öngörüler vermeyecektir. Düşük bir N değeri seçmek, verilen verilerin doğasını dakha iyi yakalamak açısından iyi olacağı için N=3 alalım.

Şekil 4

 

Bu duruda

d25=(62+70+62)/3=68 birim

Tahmin edilen 68 birimlik talep t=26 tahmini için de kullanılır- yani

d26=(70+72+68)/3=70 birim

t=25 için gerçek talep bilindiği zaman, t=26 için tahmin edilen değer t=25'in gerçek değeri hesaba katılarak revize edilmelidir.

 

 

 

Üssel Düzleştirme

Bir önceki sorunun verilerini kullanarak, t=25 için talep tahminini üssel düzleştirme metoduyla (a =0.1) bulunuz.

 

T

dt

dt*

t

dt

dt*

1

46

-

13

54

52.07

2

56

46.00

14

42

52.26

3

54

47.00

15

64

51.24

4

43

47.70

16

60

52.51

5

57

47.23

17

70

53.26

6

56

48.21

18

66

54.93

7

67

48.99

19

57

56.04

8

62

50.79

20

55

56.14

9

50

51.91

21

52

56.02

10

56

51.72

22

62

55.62

11

47

52.15

23

70

56.26

12

56

51.63

24

72

57.63

Tablo 7

Verilen hesaplamalardan t=25 için talep tahmini,

d25=0.1*72+0.9*57.63=59.07 birim

Bu tahmin kayan ortalama metodunun tahmininden (=68 birim) kayda değer bir fark göstermektedir.