Herhangi bir doğrusal programlama modeli, amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı kümesi şeklinde iki bölümde incelenebilir.Doğrusal programlamada maksimizasyon veya minimizasyon şeklinde oluşturulan amaç fonksiyonlan kısıtlayıcı kümesine göre optimize edilir . Bu optimizasyon sürecinde amaç fonksiyonlarının olabildiğince iyi değerler alması istenir . Yani amaç fonksiyonlan sınırlandırılmamıştır .

Hedef programlama kullanıcıya, amacın öncelikleri (üstünlükleri) bakımından bir optimal çözüm elde ederken, formülde birbirine zıt ve karşıt amaçlann mevcut olmasına da müsaade eder .Hedef programlama lineer programlamanın değerini ve becerikliliğini artıran bir çeşit ilave yapıdır .Hedef programlama genellikle;çözüm zıt amaçlann memnun edici performans düzeylerini sağladığında uzlaşma ile sonuçlanır .

Hedef programlamanın teknik avantajlarından biri de hiçbir hedef gerçekleşebilir olmasa bile, her zaman bir çözüm sağlamasıdır. Birbirine karşıt amaçların önceliklerine göre bir optimal sonuç elde edilir ve birbirine zıt amaçların amaç fonksiyonunda yer alması fırsatı verir . Hedeflere ulaşılıp ulaşılmadığını göstermek için sapma değişkenleri dikkate alınır . Amaç hedeflerden sapmayı en aza indirmektir . Hedef programlama planlanmış amaçları tatmin etmek ve bunlara uygun ve gerçekçi yaklaşmak için çalışır.

Yukanda söylediğimiz gibi hedef programlamamn mantığında temel olarak farklılıklar vardır.Hedef programlama maksimizasyon ve minimizasyon problemlerinden farklı olarak belirlenen hedeflerden en az sapmalı çözümü bulmaya yöneliktir .

Amaç: KulIanıcı tarafından belirlenen genel nitelik (gelirin artırılması, pazar payını koruma)

Hırs seviyesi: Karar veren kişinin ortaya koyduğu hedefın sayısal değeri (5000 dolar haftalık gider, % 15 Pazar payı)

Sapma:Çözümle sağlanan gerçek performans seviyesi ile modelIe belirlenen amaç arasındaki fark.

Öncelik: KulIanıcı tarafından amaç fonksiyonlan için belirlenen önem sırası

Karar değişkenleri: Karar vermek için araştırdığımız bilinmeyenler kümesi.

Sağ taraf sabitleri: Kaynak değerlerini ifade eden değerlerdir . (bi ile ifade edilir . )

Hedef: Belirlenmiş bir hedef kısıtı içinde belirlenmiş sağ taraf sabiti değerinden sayısal sapmayı en küçükleme isteğidir.

Öncelikli üstünlük faktörü: Hedef programlama modelinde, hedeflerin düzenli bir şekilde yapılanmasını sağlayan bir sıralama sistemidir. (P_k ile gösterilir, k=1,2,.....K, K, modeldeki hedeflerin sayısıdır . ) Amaç fonksiyonunun oluşturulabilmesi için en önemliden daha az önemliye sıralanan hedefler,ilk önce birinci öncelikli hedefin karşılanmasını daha sonra sırayla diğer hedeflerin karşılanmasım gerektirir. Bu durum şu ilişki ile gösterilebilir:

Sapma değişkenleri: Hedef kısıtın sağ taraf sabitlerinden pozitif veya negatif sapma olabilme imkanını ifade eden değişkenlerdir. i=l, 2,......1 için d_i^- ve d_i⁺ ile gösterilirler. Bu değişkenler dogrusal programlama modelindeki aylak değişkenlerle aynı gibi düşünülebilir.

Diferansiyel ağırlık: k. seviyede i. hedeften oluşan sapmaya ilişkin matematiksel ağırlık olarak ifade edilir. Wki ile gösterilir.

Hedef programlamamn yapısı lineer programlamadan kısıtları ve amaç sistemi açısından farklılık arz eder . Hedef programlamada hedef değerlerinin belirlenmesi için ilk olarak problem doğrusal programlama modeli şeklinde ifade edilir. Buradan hareketle, hedef programlama modelinde amaç fonksiyonu, her bir kısıtlayıcı için belirlenen hedeften oluşacak sapmalan minimize etmeye yönelik bir şekilde oluşturulur . Aşağıda kısa şekilde matematik modelini verdiğimiz doğrusal programlama modeli için hedef programlama modelini oluşturalım.

Maksimum Z₁ = f₁(x)

Burada doğrusal programlama modelinde Z₁ amacı maksimizasyon yönlü olduğu için hedef programlama modelinde bu fonksiyonun belirlenen bir hedef değerini (b₄) aţması beklenir. Benzer olarak, Z₂ amacı minimizasyon yönlüdür, bu nedenle de f₂ (x) fonksiyonunun b₅ değerini aşmaması arzulanır.

f₁ (x) ve f₂ (x) amaç fonksiyonlan için hedef değerlerini belirlemede bireysel optimal çözümler kulIanılabilir. Aşağıda N adet karar değişkeninden oluşan ( X₁, X₂, X₃,..... X_n )ve İ adet amacı olan bir modelin kısıtları mevcuttur. Burada G_i , İ adet amacın hedefıni, a_1j ise problemin teknoloji matris sabitlerini göstermektedir.

Eğer bu denklemler mutlak eşitlik olarak alınırsa problemin gerçek çözümü olmaz. Gerçek çözüm amacın altında veya üstünde bir performans sağlar. Bundan dolayı gerçek çözümle amaç arasına bir sapma değişkeni yerleştirmek durumundayız. Bunun matematiksel ifadesi ţöyledir.

Burada D_i İ nolu amacımıza ilişkin sapma değerini yansıtır.D_i elde etmek istediğimiz değerin altında veya üstünde olabilir. Bundan dolayı D_i negatif olmayan D_i^- ve D_i⁺ olarak adlandırılan iki değişken olarak tamamlanabilir. Burada D_i^- İ. hedeften negatif sapmayı D_i⁺ ise İ. hedeften pozitif sapmayı belirtir . Yukanda açık şeklini yazdığımız kısıtlarda D_i yerine [D_i⁺ - D_i^-] değerlerini yazarsak model kısıtları

Burada yer alan son kısıtlayıcı belirlenen herhangi bir hedeften aynı anda hem negatif hem de pozitif sapma olamayacağını belirtir. Yani d_i^-³ 0 ise d_i⁺= 0 olmalıdır. Bu durumun tersi de geçerlidir. Eğer her iki sapma değişkeni de sıfıra eşitse ilgili hedef tamamen karşılanmıştır. Bu hedef programlama için arzulanan bir durumdur . Bununla birlikte birbiriyle çelişen yapıda olduklan göz önünde bulundurulmalıdır . Bu durumda yukanda verilen model için 5 hedefe birden ulaşmak veya sapma değişkenlerinin tamamım sıfır yapacak bir çözümü elde etmek çok zordur.

Eğer model tek amaçlı bir hedef programlama modeli ise amaç fonksiyonunun genel hali

olur. C^- ve C⁺ sabitleri alt ve üst sapmalara atanmış farklı etkileri belirtİr. Eğer değişkenler etkisiz ise(model etkisiz türde tek amaçlı ise) bu C^- ve C⁺ sabİtlerinin eşİt veya 1 olması anlamına gelmektedir .

Hedef programlama yönteminde amaç fonksiyonu belirttiğimiz gibi hedeflerden oluşacak sapmaları minimize etmeye yöneliktir. Hedef programlama yönteminde amaç fonksiyonunun oluşturulabilmesi için ulaşılmak istenen hedeflerin hiyerarşik bir yapıda verilmesi gerekir .Hedef programlama, karar vericinin tercih yapısını kulIanarak hedeflerin en önemliden daha az önemliye sıralanmasını gerektirir . Bu sıralama işlemi sözel veya sayısal olarak yapılabilir . Sözel durumda, karar verici kendisi için birinci derecede önemli hedefı, ikinci derecede önemli hedefı vb. belirler. Birinci hedefın öncelik sırasım P₁ ile ifade edersek P₁ önceliğini diğer önceliklerden birine eşitleyecek herhangi bir sayı yoktur . Yani, modelde ilk olarak birinci öncelikli hedef karşılanmalı, daha sonra sırasıyla diğer hedeflerin karşılanmasına çalışılmalıdır. Bu durumu matematiksel olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

Bu gösterimde P₁ >>> P₂ yazılımı P₁'in P₂'den çok büyük olduğunu belitmektedir.

Hedeflerin sıralanması sözel olarak gerçekleştirildiğinde amaç fonksiyonu aşağıda verildiği gibi oluşur.

Burada H_i (D_i⁺, D_i^- ) olarak kapalı şekilde verilen fonksiyon, doğrusal programlama modelindeki fonksiyonların incelenmesi ile oluţur . Bu şekilde hedef sıralama işleminin sözel olarak yapıldığı modelIere öncelikli hedef programlama modeli denir.

Hedeflerin önem ( öncelik ) dereceleri sayısal olarak ifade edilebilir . Yani hedefler arası ilişkiler tedricen ağırlık kavramı kulIanılarak ifade edilebilir. Örneğin; 1.hedef 2. hedeften 3 kez, 2.hedef 3 . Hedeften 2 kez ağırlıklı vb.gibi

Burada W_i değişkeni, i.hedeften oluşan sapmaya ilişkin ağırlığı göstermektedir. Amaç fonksiyonu bu ţekilde olan modelIere Archimedean Hedef Programlama Modeli denir.

Yukanda sözünü ettiğimiz her iki hedef programlama modeli de simpleks yöntemle veya grafik yöntemle çözülebilir . Ayrıca, öncelikli hedef programlama modeli çok amaçlı programlama türlerinden olan ardışık optimizasyon yöntemi ile de çözülebilir.

Minimum Pı ( d₁⁺ + d₂^- + d₃⁺ + d₃^-) + P₂ ( d₄^- + d₅⁺ )

Bu modeli incelediğimizde en önemli hedefin uygun bir çözüm alanı oluşturmaya atfedildiği görülür . Amaç fonksiyonuna girecek olan sapma değişkeni ise aşağıdaki şekilde tesbit edilir. Örnekte 1 nolu kısıtın a_1j (x) £ b₁ şeklinde olduğu görülmektedir. Yani bu kısıtlayıcı b₁ den küçük değerler alabilir. Buradan hareketle d₁^- sapma değişkeninin O'dan büyük olabileceğini d₁⁺ sapma değişkeninin ise olabildiğince O'a yakın olmasını istediğimizi söyleyebiliriz. Bu nedenle amaç fonksiyonunda d₁⁺ sapma değişkenine yer vermekteyiz. Aşağıdaki tabloda kısıtlayıcı yönü ile amaç fonksiyonunda yer alacak sapma değişkeninin ne olacağını belirten ilişki gösterilmiştir .

Hedeflerin öncelik ilişkilerine göre sıralaması yapılırken her zaman için birinci öncelik doğrusal programlama modelinde yer alan kısıtlayıcılara aittir.Yukandaki örnekte de görüldüğü gibi birinci öncelik doğrusal modelin kısıtlarına ikinci öncelik f₁ (x) ve f₂ (x) fonksiyonları ile belirlenen hedeflerden oluşan sapma toplamlarına ait minimizasyon işlemine verilmiştir .

Genel olarak etkili yada etkisiz değişkenli olsun tek amaçlı hedef programlama modelIerinin çözümü için simpleks algoritması kulIamlır. Çok amaçlı hedef programlama modelIerinde ise P₁ amacının P₂ amacından önce dikkate alınması gerekir. Bundan dolayıdır ki genel amaçlı simpleks prosedürü çok amaçlı hedef programlama fonksiyonları için kulIanılmaz.Biz şimdi değiştirilmiş simpleks metodunun çok amaçlı hedef programlama fonksiyonlan için kulIanımını tartışalım. En yüksek önem dereceli amaç fonksiyonunun optimizasyonundan sonra bir sonraki yüksek dereceli öneme sahip amaç fonksiyonu, önceki yüksek dereceli amaçlardan sağlanan performans seviyesi etkilenmeden optimize edilir. Bu yöntem çok sayıda amaca sahip geniş problemler için kulIamşsızdır , bununla birlikte birçok problem için kulIamlmaktadır . Geniş problemler için geliştirilmiş QS, LİNDO ve hatta LOTUS 123 gibi paket programlar mevcuttur.

1. Hedef Programlama Çözüm Yöntemine İlişkin Bir Örnek

Hedef programlama yaklaşımına ilişkin bütün bu açıklamalardan sonra modelin daha iyi anlaşılması açısından aşağıda verilen çok amaçlı doğrusal programlama problemi için hedef programlamayı uygulayalım.

Maksimum Z₁ = X₁ + 2X₂ –X₃ +3X₄ +2X₅ +X₇

Yukarıda oluşturduğumuz modelde uygun bir çözüm alanına ulaşmak için en önemli hedef olarak doğrusal modelin kısıtlayıcılar kümesi alınmıştır.2.dereceli hedef ise doğrusal programlama modelinin amaç fonksiyonları olarak alınmıştır . Sonradan tesbit edilen üç kısıt için erişim değeri olarak ise bireysel optimal çözüm değerleri öngörülmüştür.Bu durumda bütün sapma değişken değerlerinin sıfır olmayacağı açıktır.

Öncelikli hedef programlama modeli olarak belirlediğimiz yukarıdaki modeli ardışık optimizasyon yöntemiyle çözelim.Bunun için öncelikle P₁ amacını optimize edelim.

Problem çözüldüğü zaman aşağıdaki sonuç verileri elde edilecektir .

Amaç fonksiyon değerinin sıfır olarak bulunması bize uygun bir çözüm alam olduğunu göstermektedir. Yani birinci öncelikli hedefe ulaşılmıştır.Bu durumda ikinci öncelikli hedefi optimize ederiz.

Bulunan çözümde amaç fonksiyon değeri sıfıra eşit olmadığı için ideal çözüm noktası uygun çözüm alam dışında kalmıştır.Elde ettiğimiz çözüm değerleriyle Z₁(x) ve Z₂ (x) amaçlan bireysel optimumlanna, yani hedef diizeylerine ulaşmışlardır.Bununla birlikte Z₃ (x) amacı bireysel optimumdan 32 birimlik negatif sapma ile sonuçlanmıştır , çünkü d₇^-=32 olarak gerçekleţmiţtir. Yani problemin çözümü Z_K = (Z₁ ,Z₂ ,Z₃) =( 48,32,-16) noktasında gerçekleşmiştir .