Lineer Programlama ( LP ), değişkenlere ve kısıtlara bağlı kalarak amaç fonksiyonunu en uygun ( maksimum ya da minimum ) kılmaya çalışır. Temel olarak, Lineer Programlama, kıt kaynakların optimum şekilde dağılımını içeren deterministik bir matematiksel tekniktir.

Lineer Programlama modelinden tutarlı sonuçların elde edilebilmesi için aşağıdaki varsayımlar sağlanmalıdır.

1. Amaç fonksiyonuna her karar değişkeninden gelen eklemeler karar değişkenlerinin değerleri ile doğru orantılıdır. Örneğin, dört asker yapmayla amaç fonksiyonuna yapılacak katkı ( 4 * 3 = 12$ ), bir asker yapmanın amaç fonksiyonuna yapacağı katkının ( 3$ ) tam olarak dört katıdır.
2. Bir amaç fonksiyonuna bir karar değişkeninin yaptığı katkı, diğer karar değişkenlerinin yaptığı katkıdan bağımsızdır. Örneğin, x₂ nin değeri ne olursa olsun, x₁ askerlerinin üretimi amaç fonksiyonuna her zaman 3x₁ kadar katkı yapacaktır.

1. Her değişkenin, her kısıtın sol tarafında yaptığı katkı, değişkenin değeriyle doğru orantılıdır. Örneğin, üç asker üretmek için gerekli oymacılık süresi bir asker için gerekli sürenin üç katı olacaktır.
2. Bir değişkenin herhangi bir kısıtın sol tarafına yaptığı katkı diğer değişkenlerden bağımsızdır.

Tanım 1: x₁, x₂, ........x_n in bir fonksiyonu olan f ( x₁, x₂, .....x_n ), sadece ve sadece bir sabitler seti ile birlikte ( c₁, c₂, .....c_n ) kullanıldığında bir lineer fonksiyondur.

f ( x₁, x₂, .....x_n ) = c₁x₁ + c₂x₂ + .....c_nx_n

Örneğin, f ( x₁, x₂ ) = 2x₁ + x₂ , x₁ ve x₂ nin bir lineer fonksiyonudur. Fakat, f ( x₁, x₂ ) = x₁²x₂ fonksiyonu x₁ ve x₂ nin bir lineer fonksiyonu değildir.

Tanım 2: Herhangi bir f ( x₁, x₂, .....x_n ) lineer fonksiyonu ve herhangi bir b sayısı için, f ( x₁, x₂, .....x_n ) £ b ve f ( x₁, x₂, .....x_n ) ³ b eşitsizlikleri birer lineer eşitsizliklerdir.

Örneğin, 2x₁ + 3x₂ £ 3 ve 3x₁ + x₂ ³ 3 birer lineer eşitsizliktir. Fakat x₁²x₂ ³ 3 bir lineer eşitsizlik değildir.

1. Karar değişkenlerinin oluşturduğu bir optimizasyon problemini maksimize ya da minimize etmeye çalışır. Maksimize ya da minimize edilmeye çalışılan fonksiyona amaç fonksiyonu denir.
2. Karar değişkenlerinin değerleri bazı kısıtları sağlamalıdır. Her kısıt bir lineer eşitlik ya da lineer eşitsizlik olmalıdır.
3. Bir işaret sınırı, her değişkenle ilgili olarak belirlenmelidir. Herhangi bir x_i değişkeni için, bir işaret sınırı belirlenmelidir.

Örnek : İnci Oymacılık firması, iki çeşit tahta oyuncak üretmektedir. Bunlar asker ve tren dir. Bir asker, 27$’ a satılmaktadır ve bir tanesi için 10$’ lık hammadde kullanılmaktadır. Üretilen her asker, firmanın işgücü ve değişken maliyetlerini 14$ kadar arttırmaktadır. Bir tren ise 21$’ a satılmaktadır ve 9$’ lık hammadde kullanmaktadır. Her bir trenin yapımı, İnci Oymacılık’ ın işgücü ve diğer değişken maliyetlerini 10$ arttırmaktadır. Tahta asker ve trenlerin üretiminde iki çeşit, kalifiye işgücü gerekmektedir: oymacılık ve düzeltme. Bir asker, 2 saatlik düzeltme ve 1 saatlik oymacılık işlemleri gerektirmektedir. Bir tren ise, 1 saatlik oymacılık ve 1 saatlikte düzeltme işlemleri gerektirmektedir. İnci Oymacılık firması, hammaddeyi istediği kadar sağlayabilmekteyken işgücünde sise, en çok 100 saatlik düzeltme ve 80 saatlik oymacılık imkanına sahiptir. Bunların yanında, trenlerin talebi piyasada limitsizken her hafta ancak 40 adet asker satılabilmektedir. İnci Oymacılık, haftalık karını maksimize etmek istemektedir. Bu durumu ifade edecek ve firmanın karını maksimize etmede kullanılacak matematiksel modeli kurunuz.

Çözüm: İnci firmasının modeli kurulurken, öncelikle, tüm Lineer Programlama problemleri için geçerli olan karakteristikleri belirlemek gerekir:

Amaç Fonksiyonu: Herhangi bir Lineer Programlama probleminde, karar verici, karar değişkenlerinin bazı fonksiyonlarını maksimize ( geliri ya da karı ) veya minimize ( maliyeti ) etmek ister. Maksimize ya da minimize edilmek istenen fonksiyona amaç fonksiyonu denir. Yukarıdaki problem için, öncelikle, sabit maliyetlerin, x₁ ve x₂ nin alacağı değerlerden bağımsız olduğunu söylemeliyiz. İnci,

maks [ ( haftalık gelir ) - ( hammadde maliyetleri ) - ( diğer değişken giderler ) ]

İnci’ nin haftalık gelirleri ve maliyetleri x₁ ve x₂ terimleri kullanılarak ifade edilebilir. İnci’ nin, satabileceğinden daha fazla asker üretmesi saçma olacaktır. Bu yüzden, üretilen tüm askerlerin satılabileceğini düşünüyoruz. O zaman,

= ( dolar / asker ). ( asker / hafta ) + ( dolar / tren ) . ( tren / hafta )

= 27x₁ + 21x₂ olacaktır.

Haftalık hammadde maliyeti = 10x₁ + 9x₂

Diğer haftalık değişken maliyetler = 14x₁ + 10x₂ olacaktır.

( 27x₁ + 21x₂ ) - ( 10x₁ + 9x₂ ) - ( 14x₁ + 10x₂ ) = 3x₁ + 2x₂ dir.

Sonuç olarak, İnci’ nin amacı, 3x₁ + 2x₂ ‘ yi maksimize edecek x₁ ve x₂ değerlerini bulmaktır. Herhangi bir Lineer Programlama probleminin amaç fonksiyonunu simgelemek için z simgesini kullanacağız. İnci’ nin amaç fonksiyonu şudur:

maks z = 3x₁ + 2x₂ ( 1 )

Amaç fonksiyonundaki bir değişkenin katsayısı amaç fonksiyonu katsayısı diye adlandırılır. Örneğin, x₁’ in amaç fonksiyonu katsayısı 3, x₂’ nin amaç fonksiyonu katsayısı 2’ dir. Bu örnekte ( çoğu örnekte olduğu gibi ) amaç fonksiyonu katsayısı, her değişkenin, firmanın karına yaptığı katkıdır.

Kısıtlar: x₁ ve x₂ arttıkça, İnci’ nin amaç fonksiyonunun değeri de artar. Bunun anlamı, eğer İnci, x₁ ve x₂ için istediği üretim miktarını seçmekte serbest olsa idi, firma x₁ ve x₂ üretimini keyfi olarak yüksek tutar ve karını sürekli arttırırdı. Maalesef, x₁ ve x₂ değerleri, aşağıdaki üç kısıtla sınırlandırılmıştır:

Problemdeki bir diğer adım ise bu kısıtları, x₁ ve x₂ ( karar değişkenleri ) cinsinden göstermektir. Birinci kısıtı x₁ ve x₂ değişkenleri ile göstermek için,

= 2(x₁) + 1(x₂) = 2x₁ + x₂

2x₁ + x₂ £ 100 ( 2 )

2. kısıtı belirtirken,

= 1(x₁) + 1(x₂) = x₁ + x₂

x₁ + x_{2 £} 80 ( 3 )

Böylece, problemin kısıtları belirlenmiş oldu. Kısıtlardaki karar değişkenlerinin katsayıları teknolojik katsayılar diye adlandırılırlar. Bunun sebebi, bu katsayıların genellikle değişik ürünlerin üretiminde kullanılacak teknolojiyi belirtmeleridir. Örneğin, ( 3 ) deki x₂ nin teknolojik katsayısı 1 saatlik oymacılığın gerekli olduğunu anlatır. Her kısıtın sağındaki sayı ise kısıtların sağ el tarafı olarak adlandırılır. Genellikle bir kısıtın set ( sağ el tarafı )’ i eldeki kaynakların miktarını söyler.

Eğer bir karar değişkeni ( x_i ) sadece negatif olmayan değerleri içeriyorsa, işaret sınırı olarak x_i ³ 0’ ı ekleriz. x_i değişkeni, hem pozitif hem de negatif değerleri içeriyorsa x_i sınırsızdır denir. İnci problemi için x₁ ³ 0 ve x₂ ³ 0 olduğu açıktır. Başka problemlerde, bazı değişkenler sınırsız olabilirler. Örneğin, x_i bir firmanın nakit balansını gösteriyorsa, x_i , eğer firma borçlu ise negatif olarak düşünülebilir. Böyle bir durumda, x_i’ yi sınırsız olarak belirtmek uygundur.

maks z	=	3x1	+	2x2
		2x1	+	x2	£	100	( Düzeltme Kısıtı )
		x1	+	x2	£	80	( Oymacılık Kısıtı )
		x1			£	40	( Askerlerin Talep Kısıtı )
		x1,	x2	³	0		işaret sınırları

x₁ ve x₂ nin değerleri, tüm kısıtları sağlayacak şekilde amaç fonksiyonunu maksimize etmelidir.

x₁ , x₂ , ..................., x_n ® karar değişkenleri

f: amaç fonksiyonu ( bu fonksiyonu optimize etmek istiyoruz )

a_ij , b_i , c_j = sabitler ( katsayılar )

f fonksiyonunun optimizasyonu g₁ , g₂ , ..........., g_m gibi m adet kısıtın sağlanması ile olmalıdır.

Kısıtlar ya ( £ or ³ ) ya da ( = ) şeklinde olur.

Örnek 1: İnci kimya firması X ve Y gibi iki tip kimyasal madde üretmektedir. 1 litre X ürününün maliyeti 160 TL. , 1 litre Y ürününün maliyeti ise 240 TL. dir. Müşteri talebine göre, firma, gelecek hafta için en az 6 litre X ve en az 2 litre Y ürünü üretmelidir. X ve Y kimyasal ürünlerinde kullanılan hammaddelerden birisinin sunumu azdır ve sadece 30 gr. sağlanabilmektedir. X ürününün bir litresinde bu hammaddeden 3 gr. ve Y nin litresinde de 5 gr. gerekli olmaktadır.

x₁ = Üretilecek X ürününün miktarı ( litre )

x₂ = Üretilecek Y ürününün miktarı ( litre )

160x₁ + 240x₂ dir.

x₁ ³ 6 ve x₂ ³ 2 dir.

3x₁ + 5x₂ £ 30 dur.

Min z =	160x1	+	240x2
	x1					³		6
	x2					³		2
	3x1	+	5x2			£		30
	x1, x2 ³ 0

Örnek 2: Son günlerde Müge’ nin yaptığı diyet 4 temel ürün grubu içerisinden gıdasını seçmesini gerektiriyor. Bunlar, çukulatalı kek, dondurma, coca - cola ve peynirli kek. Bir dilim kek 50.000 TL, bir top çukulatalı dondurma 20.000 TL, bir bardak coca - cola 30.000 TL ve bir dilim peynirli kek ise 80.000 TL dir. Bir gün içinde Müge, diyete göre, en az 500 kalori, 6 gr. çukulata, 10 gr. şeker ve 8 gr. yağ almak zorundadır. Aşağıda, müge’ nin önüne konan menünün içindeki kalori ve şeker miktarı verilmiştir. Müge çok zor bir durumdadır. Günlük diyetini minimum maliyetle karşılayabilmesi için hangi besinlerden ne kadar alması gerekmektedir?

x1 =	Müge’ nin bir günde yiyeceği çukulatalı kek miktarı
x2 =	Müge’ nin bir günde yiyeceği çukulatalı dondurma miktarı
x3 =	Müge’ nin bir günde içeceği cola miktarı
x4 =	Müge’ nin bir günde yiyeceği peynirli kek miktarı

Örnek 3: İncikimya İşletmesi, aşağıdaki özellikleri taşıyan ürün üretmektedir:

x₁ = Üründeki A oranı

x₂ = Üründeki B oranı

x₃ = Üründeki C oranı

z = 16x₁ + 20x₂ + 25x₃

x₁ + x₂ + x₃ = 1

280x₁ + 270x₂ + 290x₃ ³ 280

0.95x₁ + 1.20x₂ + 1.10x₃ £ 1.00

7x₁ + 8x₂ + 11x₃ £ 8

4x₁ + 5x₂ + 3x₃ £ 3

Örnek 4: Mügesüt şirketi kapasite sorunu yüzünden günde 120.000 kg. dan daha çok süt işleyememektedir. Yönetim, yağ veya işlenmiş süt için kullanılan sütün dengelenmesi için peynir fabrikasında en az 10.000 kg. lık günlük süt kullanmak istemektedir. Bir kg. sütün yağ üretimi için kullanıldığında, kara katkısı, 4 TL., şişe sütü olarak kullanıldığında katkısı 8 TL. ve peynir üretimi için kullanıldığında ise katkısı 6 TL. dir.

Çözüm:

x₁ = Yağ yapımında kullanılan süt miktarı ( kg )

x₂ = Şişelemede kullanılan süt miktarı ( kg )

x₃ = Peynir yapımında kullanılan süt miktarı ( kg )

Maksimum z = 4x₁ + 8x₂ + 6x₃

x₃ ³ 10.000

x₁ £ 60.000

x₂ £ 40.000

x₃ £ 30.000

x₁ + x₂ + x₃ £ 120.000

Örnek 5: Tombulmüge şirketinde üretilen pillerin üç ayrı aygıt ile kontrolü yapılmaktadır. Bu aygıtlar 1. derecede, 2. derecede ve 3. derecedeki aygıtlardır. Tombulmüge, 8 saatlik çalışma gününde en az 1600 pilin kontrol edilmesini istemektedir. Ücretler, kalite kontrolün doğruluk yüzdeleri ve saat başına kontrol oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Çözüm:

x₁ = 1. Aygıtta çalışan denetleyici

x₂ = 2. Aygıtta çalışan denetleyici

x₃ = 3. Aygıtta çalışan denetleyici

Minimum z = ( 120x₁ + 90x₂ + 70x₃ ) + (0.02).(10).40x₁ + (0.05).(8). 40x₂ + (0.10).(6)40x₃

x_{1 £} 9

x₂ £ 13

x₃ £ 12

8 ( 10x₁ + 8x₂ + 6x₃ ) ³ 1600

x₁, x₂, x₃ ³ 0

Örnek 6: Mügetaş firmasının üç fabrikası vardır ve her fabrikada üç ayrı boyda makina parçası üretilmektedir. Üç boyda makina parçasının satışından elde edilen birim karlar şöyledir: büyük boy için 600 TL. , orta boy için 600 TL. ve küçük boy içinse 540 TL. Üç fabrikadaki emek ve makina güçlerine göre 1 nolu fabrikada haftada ancak800birim, 2 nolu fabrikada 650 birim ve 3 nolu fabrikada 450 birim ürün üretilmektedir.

Fabrikaların stoklama alanı sınırlıdır. 1 nolu fabrikanın 1400 m², 2 nolu fabrikanın 1250 m² ve 3 nolu fabrikanında 800 m² lik stoklama alanları vardır. Büyük boy parçanın haftalık üretiminde 2.5 m² , orta boy parçanın üretiminde 2 m² ve küçük boy parçanın üretimi için 1.5 m² yere gerek vardır.

Satış bölümünün tahminine göre haftada büyük boy parçadan 800, orta boy parçadan 900 ve küçük boy parçadan ise 600 birim satılabilmektedir. Öte yandan, yönetim üç fabrikada üretilen malların göreli sayısının emek ve makine kapasitelerine denk oranda olmasını istemektedir.

x_ij = fabrika i ( i = 1, 2, 3 ) de j ( j = 1, 2, 3 ) boyunda üretilen parça sayısıdır.

Maksimum z = 800 ( x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ ) + 600 ( x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ ) + 540 ( x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ )

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ £ 800

x₂₁ + x₂₂ + x_{23 £} 650

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ £ 450

2.5x₁₁ + 2x₁₂ + 1.5x₁₃ £ 1400

2.5x₂₁ + 2x₂₂ + 1.5x₂₃ £ 1250

2.5x₃₁ + 2x₃₂ + 1.5x₃₃ £ 800

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ £ 800

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ £ 900

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ £ 600

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ x₃₁ + x₃₂ + x₃₃

650 ( x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ ) - 800 ( x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ ) = 0

450 ( x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ ) - 650 ( x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ ) = 0

x_ij ³ 0

Örnek 7: Bir firma 3 çeşit benzin üretmek istemektedir. Benzinlerin herbiri üç tip ham petrolün karışımıyla elde ediliyor. 1 varil benzinin satış fiyatı ile bir varil ham petrolün maliyetleri aşağıdaki gibidir:

Günlük karı maksimize edecek lineer programlama modelini kurunuz.

Çözüm:

x_ij = i. Tip hampetrolü kullanarak üretilecek benzin miktarı ( varil )

a_i = i. Tip benzin için harcanacak reklam parası ( i = 1, 2, 3 )

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃

Maksimum z = 70 (x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ ) + 60 ( x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ ) + 50 ( x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ ) - [ 45 ( x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ ) + 35 ( x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ ) + 25 ( x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ ) + 4 (x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ + x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ + x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ ) + a₁ + a₂ + a₃ ]

Maks z = 21x₁₁ + 11x₁₂ + x₁₃ + 31x₂₁ + 21x₂₂ + 11x₂₃ + 41x₃₁ + 31x₃₂ + 21x₃₃ - a₁ - a₂ - a₃

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ = 3000 + 10a₁

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ = 2000 + 10a₂

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ = 1000 + 10a₃

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ £ 5000

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ £ 5000

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ £ 500

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ + x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ + x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ £ 14000

B1 ( 16x₁₁ + 8x₂₁ + 8x₃₁ ) / ( x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ ) ³ 10

B2 ( 16x₁₂ + 8x₂₂ + 8x₃₂ ) / ( x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ ) ³ 8

B3 ( 16x₁₃ + 8x₂₃ + 8x₃₃ ) / ( x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ ) ³ 6

B1 ( 0.005x₁₁ + 0.02x₂₁ + 0.03x₃₁ ) / ( x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ ) £ 0.01

B2 ( 0.005x₁₂ + 0.02x₂₂ + 0.03x₃₂ ) / ( x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ ) £ 0.02

B3 ( 0.005x₁₃ + 0.02x₂₃ + 0.03x₃₃ ) / ( x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ ) £ 0.01

x_ij ³ 0

Olurlu bölge ve optimum çözüm kavramları, bir Lineer Programlama problemi ile ilgili en temel kavramlardan ikisidir. Bu kavramları tanımlamak için, nokta terimi kullanılacaktır. Nokta, buradaki anlamıyla, bir karar değişkeninin aldığı değerdir.

Tanım: Bir Lineer Programlama modeli için olurlu bölge, Lineer Programın tüm kısıtlarının ve işaret sınırının sağlandığı tüm noktalardır.

Örneğin, İnci Oymacılık probleminde, x₁= 40, x₂=20 noktası olurlu bölgededir. Burada, x₁=40 ve x₂= 20 tüm kısıtları ve işaret sınırını sağlamaktadır:

Kısıt (2), 2x₁ + x₂ £ 100, sağlanmaktadır; 2(40) + 20 £ 100.

Kısıt (3), x₁ + x₂ £ 80, sağlanmaktadır; 40 + 20 £ 80.

Kısıt (4), x₁ £ 40, sağlanmaktadır; 40 £ 40.

İşaret Sınırı (5), x₁ ³ 0, sağlanmaktadır; 40 ³ 0.

İşaret Sınırı (6), x₂ ³ 0, sağlanmaktadır; 20 ³ 0.

Diğer taraftan, x₁= 15, x₂= 70 noktası olurlu bölgede değildir. Çünkü, her ne kadar bu nokta 2, 4, 5 ve 6 nolu kısıtlar sağlansa da 3 nolu kısıt sağlanamamaktadır ( 15 + 70 işleminin sonucu 80’ e eşit veya ondan az değildir. ).

Tanım: Bir maksimizasyon problemi için, bir Lineer Programın optimum çözümü, olurlu bölgede olupta amaç fonksiyonunu maksimum yapan değerdir. Benzer şekilde, minimizasyon problemi içinse, optimal çözüm, olurlu bölgede olupta amaç fonksiyonunu minimum yapan noktadır.

Lineer Programlama modelleri genellikle birer optimal çözüme sahiptirler. Bunun yanında, bazı modellerin bir optimal çözümü yoktur ve bazıları da sonsuz sayıda çözüme sahip olabilirler. İnci probleminin optimal çözümü x₁ = 20, x₂ = 60 noktasıdır. Bu çözüm ise amaç fonksiyonunun şu sonucu vermesini sağlar:

x₁ = 20, x₂ = 60 noktasının optimum çözüm olduğunu söylediğimiz zaman olurlu bölgedeki başka hiçbir noktanın amaç fonksiyonu değerini 180’ nin üzerine çıkaramayacağını iddia etmiş oluruz. İnci, her hafta 20 adet asker ve 60 adet tren üreterek maksimize edecektir. Eğer İnci, bu sayıda üretim yaparsa haftalık karı 180 - ( haftalık sabit maliyetleri ) olacaktır. örneğin, haftalık sabit maliyet 100$ ise, İnci’ nin haftalık karı 180 - 100 = 80$ olacaktır.

Grafik Metot, biraz önce kurdğumuz modellerin çözülmesinde kullanılan bir yöntemdir. Fakat, grafik metotla ancak iki değişkenli Lineer Programlama modelleri çözülebilir. Bu değişkenler genellikle x₁ ve x₂ diye simgelenmekte ve ayrıca grafiğin eksenleri de aynı şekilde adlandırılmaktadır.

Her ne kadar, gerçek hayatta iki değişkenli modellere nadiren rastlansa da grafik yöntemden çıkan fikirlerin simleks metodun bulunmasında önemli bir rolü olmuştur.

1. Modelin tüm kısıtlarını sağlayan olurlu çözümleri belirten, içeren çözüm alanının belirlenmesi.
2. Olurlu çözüm alanındaki tüm noktaları arasından optimum çözümün belirlenmesi.

İki değişkenli bir Lineer Programlama modelinin grafik yöntemle nasıl çözülebileceğini yine İnci Oymacılık örneği üzerinden giderek gösterebiliriz. Başlamak için bu problemin grafik üzerindeki olurlu bölgesini belirlememiz gerekir. İnci problemi için olurlu bölge, aşağıdaki kısıtları sağlayan x₁, x₂ noktalarının hepsidir:

Herhangi bir x₁, x₂ noktasının olurlu bölgede olabilmesi için (2) - (4) deki tüm eşitsizlikleri sağlaması gerekmektedir. Görülmesi gereken önemli bir nokta, (5) ve (6) yı sağlayan noktalar sadece x₁ - x₂ eksenlerinin 4. çeyreğinde olduğudur. Bu, şekilde de görüldüğü gibi, x₂ ekseninin sağına, x₁ eksenininse soluna tekabül eder. Yani, birinci çeyreğin dışındaki herhangi bir noktanın olurlu bölge içinde olmasına imkan yoktur. Bunun anlamıda, olurlu bölgenin birinci çeyrekteki (2) - (4) ü sağlayan noktalardan oluşacağıdır.

Olurlu bölgenin belirlenmesinden sonra sıra optimum sonucun bulunmasına gelmiştir. Optimum sonuç bulunurken izlenecek yollardan biri, amaç fonksiyonunun grafik üzerindeki izdüşümünü veren doğruyu çizmektir. Bu doğrunun çizilebilmesi için olurlu bölgede bir nokta seçilir ve bu noktanın z değeri bulunur. Örneğin, ( 20, 0 ) noktasını seçersek z = 60 olacaktır. ( z = 3x₁ + 2x₂ = 60 ). Buradan sonra, x₂ = 30 - 3/2x₁ ifadesi aracılığı ile z fonksiyonunun eğimini -3/2 olarak bulunur. Buradan da yukarıdaki şekildeki z doğrusu bulunur. Bu doğruyu yukarı doğru çekerek olurlu bölgeyi en son terk ettiği nokta belirlenir. İşte bu nokta problemin optimum noktasıdır.

Şekilde kırmızı çizgi ile gösterilen doğru problemin amaç fonksiyonu doğrusunun yukarı çekilmiş halidir ve olurlu bölgeyi en son terkettiği nokta, yani optimum nokta ise G ( 20, 60 ) noktasıdır. Bu nokta da amaç fonksiyonu z’ yi 180 yapar.

Sonuçta problemin çözüm kümesi şu şekildedir: